2.5 风险分析中常用的概率分布

2.5.1 几种离散型概率分布

1.（0-1）分布（又称两点分布）

（0-1）分布的分布列如下：

若X服从（0-1）分布，则

2．二项分布

设试验只有两种可能结果：A、Ā，且每次试验中A发生的概率为p, Ā发生的概率为q=1-p，将试验重复n次，则称这种试验为伯努利试验。

在n次伯努利试验中，事件A发生的次数X是一个随机变量。可以证明，在n次试验中，事件A恰好发生k次的概率Pn（X=k）可用下式求得

由于式（2-52）的右侧是二项式（p+q）n展开式的第k+1项，所以称此随机变量X服从二项分布。二项分布记为B（n, p）。

若X服从二项分布，则

3．泊松分布

如果随机变量X的可能取值为0,1,2, …，而（X=k）的概率为

则称X服从泊松分布，其中参数λ＞0。泊松分布记为Pλ（k）。

若X服从泊松分布，则

可以证明，随着n的增大，二项分布与以λ=np为参数的泊松分布趋于接近，因此，当n很大时，可用泊松分布近似求出二项分布的值。

2.5.2 几种连续型概率分布

1．均匀分布U（a, b）

（1）密度函数：

均匀分布的密度曲线见图2-3。

（2）均值：

（3）方差：

若X在区间 [a, b]上服从均匀分布，则 X取值于[a, b]中任一小区间内的概率只与该小区间的长度成正比，而与小区间的具体位置无关。因此，X取值于 [a, b]内任意等大小区间内的概率都是相等的，这也是一种等可能性的意思。

均匀分布是一种常用的分布，它在统计仿真等方法中占有重要地位。

2．正态分布N（a, σ2）

（1）密度函数：

正态分布密度曲线见图2-4。

（2）均值：

（3）方差：

正态分布中的参数a和σ2分别为均值和方差。

可以证明，若X服从正态分布N（a, σ2），则X的取值落在 [a-3σ, a+3σ]区间的概率为99.7%，即

这就是重要的“3σ法则”。

特别地，当a=0, σ2=1时，N（a, σ2）称为标准化正态分布，记为N（0,1）。标准化正态分布的密度函数为：

标准化正态分布的分布函数为

式中：Φ（x）称为拉普拉斯函数，可由正态分布表查得。

一般正态分布可通过变换转化为标准化正态分布。引进变量代换：，则

上式是一重要的关系式。要计算F（x），只要将其转化为，便可查标准化正态分布表了。

无论在理论上，还是在实际中，正态分布都起着重要的作用。许多随机变量的概率分布都可以用正态分布来描述。若一个随机变量受大量作用微小且相互独立的因素综合影响，那么它将服从或近似服从正态分布。

3．对数正态分布

（1）两参数对数正态分布ln（a, σ2）。

1）密度函数。若Y=lnX服从正态分布N（ay，），则X服从对数正态分布，其密度函数为：

式中：ay、σy分别为Y的均值、均方差。

对数正态分布密度函数曲线见图2-5。

2）均值：

3）方差：

当对数分布应用于经济资料时，常称为Cobb-Douglas分布。

（2）三参数对数正态分布ln（ay，, b）。

1）密度函数：

2）均值：

3）方差：

对两参数的对数正态分布Y，采用平移变换X=Y+b，就可以得到三参数的对数正态分布。即两参数正态分布ln（ay，）可视为b=0的三参数对数正态分布的特例。

4．指数分布 e（λ）

（1）密度函数：

式中参数λ＞0。

（2）均值：

（3）方差：

5．三角分布Triangular（a, b, c）

（1）密度函数：

三角分布密度函数曲线见图2-6。

a＜c＜b，其中，a为位置参数；b-a为比例参数；c为形状参数。当c=b时，为右三角分布；当c=a时，为左三角分布。

（2）均值：

（3）方差：

三角分布在风险管理中也经常使用。

6．极值分布（Ⅰ型）G（u, α）

（1）密度函数：

式中：u为位置参数；α＞0为比例参数。

分布函数

（2）均值：

（3）方差：

极值分布指的是n次观测中的极大值或极小值的概率分布。理论上，极值分布有3种可能的渐近极值分布，此处介绍的极值分布（Ⅰ型）为指数原型极值分布，其在气象、水文和地震的风险分析中用得较为广泛。

7.P-Ⅲ型分布

（1）密度函数：

式中：参数α＞0, x＞a0。

P-Ⅲ型分布密度曲线如图2-7所示。

（2）均值：

（3）方差：

在实际工作中，常要计算指定概率p所相应的随机变量取值xp，即求出满足下述等式的xp：

亦即

由上式可知，当α、β、a0已知时，xp只取决于p。α、β与a0与数字特征E（X）、Cv、Cs有下列关系：

因此只要E（X）、Cv与Cs一经确定，xp仅与p有关。但是直接由积分式来计算是非常困难的，实用上，通过查算已制成的专用表可以使计算工作大大简化。

令

由上式可得

将之代入式（2-86），并同时将式（2-86）中的α, β, a0以相应的E（X）, Cv, Cs来表示，通过简化可得

上式等号右边与参数α有关而由式（2-87）可知，α是Cs的函数，因此，可对若干给定的Cs值，编制φp和p的对应数值表。此表已先后由美国工程师福斯特和苏联工程师雷布京制订出来。常称为P-Ⅲ型分布离均系数φ值表。

例2设某地年雨量X的分布符合P-Ⅲ型分布，且E（X）=1000mm, Cv=0.5, Cs=1.0，试求该地百年一遇的年降雨量。

解：所谓百年一遇的年降雨量，即求满足下式的xp。

由Cs=1.0, p=0.01查P-Ⅲ型分布离均系数表，得

φp=3.02

所以

P-Ⅲ型分布适应性较强，计算比较简便。1927年福斯特首先将它用于水文现象，以后得到很多国家水文学者的广泛研究，也是我国水利水电工程水文计算规范中推荐采用的概率分布。