第一节 生产函数与边际收益递减规律

跟消费者理论类似的是，产品在生产过程中也需要各种生产要素（生产资料）。古人形容一样东西成本很高，往往用劳民伤财来形容。假设一样产品的生产既需要人力，也需要物力。人力正好对应了民，而物力也就正好对应着财。经济学理论往往把人力抽象成劳动（L），把物力抽象成资本（K）。在现实中，劳动和资本对应着下面这些事物：

劳动：工人、职员、业务员和经理等劳动投入。

资本：土地、厂房、机床、机器、仪器和电子计算机等。

可能有很多人会认为原料也是生产要素的一种。但经过我们细想，原料的收集其实也可以分解劳动和资本。于是我们这儿可以将原料省去。生产要素市场和消费品市场是紧密结合在一起的，厂商是生产要素市场的需求方，却是消费品市场的供给方。工人是生产要素市场的供给方，却是消费品市场的需求方。

生产函数（Production Function）：在一家餐馆里，每生产出一道菜，需要服务员获得顾客的订单，需要采购员从批发市场购得原料，需要厨师将原料加工成可口的饭菜，还需要清洁工人洗干净用过的碟子。这仅仅是需要的劳动。一家好餐馆需要合适的装修，需要整齐的桌椅。不仅如此，餐馆还需要人员配合。任何一道程序出了毛病，都会影响餐馆的运作。其他工厂生产也是类似的，各种生产要素的结合使得产品能保质保量地生产出来。生产函数总结了将投入转化为产出的方式。我们用q代表产出数量，用F（K，L）代表生产函数。则一般情况下有如下方程：

一些参考文献中将F视为科技或者生产工艺，其道理也相同。为了简化今后的分析，通常做如下假设：

假设：F函数具有连续性、严格递增性、严格拟凹性且满足F（0，0）=0。

连续性意味着F函数是连续函数；严格递增性意味着K或L增加都将增加产量。这两点都比较容易理解。从定义上来说，严格拟凹性则意味着：对t∈（0，1），都有：

从函数的形态来看，拟凹性保证了成本最小化有唯一解。最后，当所有的生产资料数量都为零时，生产函数的值为零。

显然，不同的K、L 组合可能会使产量发生变化。如果K代表机器的数量，而L代表工人的数量，机器和工人可以在一定程度上互相替代，这时某些不同K、L 组合也许会得到相同的产量。在坐标轴上将所有产生相同产量的点用线条连接起来时，可以得到下面的图形：

当单独K或L改变时，根据生产函数的单调性，生产函数的数值必然发生变化。经济学中的理性人往往考虑的是边际值。假设农场的经理考虑是否雇佣一名新的工人。根据边际分析法，他需要计算出工人的边际产量。已知生产函数，如果劳动的数目必须是整数，边际工人的产量如下所示：

如果劳动是完美可分的，则边际劳动带来的产量为：

图4-1 等产量曲线（Isoquant Curve）

如果外生的工人工资为w，产品的外生市场价格为p，经理比较的是工资w和额外的收入p[F（K，L+1）-F（K，L）]。如果前者比较大，经理会放弃雇佣这名工人。如果后者比较大，经理会雇佣这名工人。MP_L也叫劳动的边际产量，而p×MP_L成为劳动的边际产值。类似的结论可以应用于经理对是否购入一台新机器的决定中。这时我们需要定义的是边际资本赋予的产量：当资本的边际产值大于租金（r）时，经理选择添加资本，否则不添加资本。

无论是资本还是劳动，都存在着边际产量递减的性质。想象在工厂中有20台机器，却只有20名工人。这时平均每名工人操作一台机器。工人的边际产出比较高，而机器的边际产出比较低。当工人的数量增加时，每名工人操作的机器数量减少，甚至出现多名工人操作同一台机器的情况，工人的边际产出随之降低，而机器的边际产出却在增加。同理，当增加机器的数量时，机器的边际产出降低，而工人的边际产出增加。注意分清楚（劳动）的边际产量和平均产出的区别。前者代表边际劳动带来新增的产量，而后者代表总产量除以总劳动。两者相似的地方是，当（劳动的）边际产出减少的时候，它的平均产出也会减少。

等产量曲线的斜率为边际技术替代率MRTS（Marginal Rate of Technical Substitution），经济上的含义为在保持产量不变的前提下，一种生产要素替换另一种生产要素的比例。举一个例子，产量为，这时所有符合该产量的K、L 组合可以用表示出来。使用隐函数定理可以得到等产量曲线的斜率。由于斜率为负，通常可以前置负号进行修正。

从等产量曲线上可以看出MRTS 随着K和L的变化而改变。当K比较小，而L比较大时，需要用大量的L来置换一单位的K。当L比较小，而K比较大时，需要用大量的K来置换一单位的L。一个明显的例子是CES生产函数。

计算出来的边际技术替代率为：

用r替换掉X₂/X₁，MRTS 对r的弹性是常数，即：

规模收益：当生产要素发生规模上的变化时，产量也会随之发生变化。如果一亩稻田，一个农民能生产500斤粮食，很自然的我们会觉得10亩稻田，10个农民就能生产出5000斤粮食。类似的，如果一家晶圆厂每年能生产1000万片中央处理器，那么10家同样的晶圆厂每年就能生产出1亿片中央处理器。在更复杂的生产领域，这种简单的克隆显然不切合实际。更大的规模往往带来组织、协调和管理上的负担。而且上游市场的原料并非取之不尽。反映到生产函数上，假设存在某个t＞0，使得有：

则生产函数具有规模收益不变的性质。假设对于某个t＞1，我们都有：

则生产函数具有规模收益递增的性质。同样对于t＞1，假设有：

则生产函数具有规模收益递减的性质。